Úvod

Zápočet je možné jednou opakovat. To znamená, že máme pouze 2 pokusy. Zpravidla je 6 zadání a pro uznání je potřeba 50%(to se ovšm může zpřísnit) Dle typu a místa studia je zápočtový test psán na papír nebo v moodlu. Zde jsou shrnuty výhody a nevýhody obou variant.

Papírová forma:

• Nevýhody: žádné online nástroje, jste na to sami, snadno se přeťuknete v kalkulačce
• Výhody: můžete dostat body za postup, převod sazby, časovou osu apod.

Moodle forma:

• Nevýhody: nemůžete dostat body za postup, převod sazby, časovou osu apod. Moodle chce přesný výsledek na n desetinných míst. Jakákoliv odchylka je nepřípustná
• Výhody: můžete si připravit podklady, tabulky, kalkulačky apod. Odkudkoliv a s kýmkoliv.

Rozhodně online zápočet není radno podcenit. Ačkoliv je veliká pravděpodobnost, že zadání bude podobné těm z předchozích let, není vyloučena jejich změna. Opravný test je pak těžší než řádný. Sice naleznete různé kalkulačky v excelu a materiály na primátu, ale i tak je třeba problematiku chápat, abyste věděli jaké hodnoty do tabulek zadat. Materiály jsou plné chyb a nedovtípíte se proč je to zrovna takto.

Rozbor úlohy

Máme zde 3 částky a známe jejich budoucí hodnoty, tedy jaké částky máme zaplatit za nějaký čas. Nás nyní zajímá, jakou hodnotu mají tyto částky dnes. Všechy tři částky odúročíme na současnou hodnotu a sečteme. Dostaneme tím současnou hodnotu všech tří částek. Tu nyní musíme zúročit na budoucí hodnotu za 17 let.

Pro lepší pochopení si představte, že jste v hospodě chlastali a neměli na zaplacení. Domluvili jste se s barmanem co studuje finance, že neznámou útratu platit nemusíte, ale že za 5 měsíců zaplatíte 1 600.- To se vám líbilo, protože nabídl nízký úrok, a jak jste chlastali dále, tak jste ten večer tuto dohodu provedli ještě dvakrát na další částky a jiné splatnosti. Ráno jste se vzbudili a nic si nepamatovali. Po 17 ti letech jste přišli znova do baru a barman chce po vás zaplatit všechny tři dluhy. Kolik mu tedy po 17 ti letech zaplatíte?

Postup

Všechny 3 částky diskontujeme na současnou hodnotu.

$\mathrm{1\; 600}\bullet {(1+\frac{0.1274}{2})}^{-\frac{2}{12}\bullet 5}=\mathrm{1\; 519.74486}$
$\mathrm{6\; 600}\bullet {(1+\frac{0.1274}{2})}^{-\frac{2}{12}\bullet 11}=\mathrm{5\; 893.529706}$
$\mathrm{8\; 600}\bullet {(1+\frac{0.1274}{2})}^{-\frac{2}{12}\bullet 18}=\mathrm{7\; 145.637384}$

Všechny 3 částky sečteme.

$\mathrm{1\; 519.74486}+\mathrm{5\; 893.529706}+\mathrm{7\; 145.637384}=\mathrm{14\; 558.91195}$

Nyní jsme dostali současnou hodnotu těchto budoucích částek a chceme zjistit budoucí hodnotu, jakou hodnotu bude mít za 17 let. Zúročíme.

$\mathrm{14\; 558.91195}\bullet {(1+\frac{0.1274}{2})}^{\frac{2}{12}\bullet 204}=\mathrm{118\; 844.8409}$

Úročit je to možné také pomocí tohoto zápisu:

$\frac{\mathrm{14\; 558.91195}}{{(1+\frac{0.1274}{2})}^{\frac{-2}{12}\bullet 204}}=\mathrm{118\; 844.8409}$

Rozbor úlohy

Úloha na lineární interpolaci, kde chceme najít takovou roční úrokovou sazbu, kde při pravidelných vkladech, po určitý čas a frekvenci úročení nám vyjde naspořena budoucí hodnota.

Přesnost na desetinná místa je tam jen pro jakési ztěžení. Čím více desetinných míst, tím menší pravděpodobnost, že úlohu obejdeme skrze AI. Naopak pokud bude úloha pouze na 2 desetinná místa, klidně zadejte výsledek na 4 desetinná místa a máte jistotu, že to projde.

Postup

Použijeme vzorec pro budoucí hodnotu důchodu.

$P_t=R\bullet \frac{{(1+\frac{{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{m}})}^{n\bullet m}-1}{\frac{{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{m}}}$

Dosadíme známé hodnoty do rovnice. Uvažujeme předlhůtně, v zadání je napsáno "na začátku".

$\mathrm{23\; 100}=800\bullet \frac{{(1+\frac{{\mathrm{i}}_4}{4})}^{4\bullet 5}-1}{\frac{{\mathrm{i}}_4}{4}}\bullet (1+\frac{{\mathrm{i}}_4}{4})$

Metodou pokus omyl nalezneme horní a dolní mez.

$13\%:\mathrm{22\; 768}-\text{dolní mez}$
$14\%:\mathrm{23\; 416}-\text{horní mez}$

Použijeme lineární interpolaci(toto je jen jiný zápis, oproti ZK).

$\mathrm{ief}=\frac{\mathrm{23\; 416}-\mathrm{22\; 768}}{0.14-0.13}=\frac{\mathrm{23\; 416}-\mathrm{23\; 100}}{\mathrm{x}}$
$\mathrm{ief}=0.0048765\%$

Přičteme sazbu pro dolní mez.

$\mathrm{ief}=(0.0048765\%+13\%)/100$
$\mathrm{ief}=0.1348765\%$

Dosadíme do úročitele, dopočítáme sazbu a vynásobíme stem pro vyjádření v procentech.

$\mathrm{ief}={(1+\frac{0.1348765}{4})}^4-1\bullet 100$
$\mathrm{ief}=14.185\%$

Rozbor úlohy

Na levé straně rovnice vycházíme ze vzorce pro výpočet budoucí hodnoty (P_t) a počítáme jakou částku je nutné vkládat, abychom dostali dostatečnou (přesnou) sumu pro výplatu požadovaných anuit (pravidelných plateb). Výše potřebné částky (P_t) je pak na pravé straně rovnice.

Levá strana:

• vzorec pro výpočet R * vklad předlhůtně * diskontování o 4 roky zpět
• vzorec pro výpočet R - zlomek v úrokové sazbě bychom mohli vynechat, jelikož úrokování probíhá jednou ročně
• vklad předlhůtně - pokud platby do fondu probíhaly na konci období, tento výraz bychom vynechali
• diskontování o 4 roky zpět - v zadání máme spoření na 17 let, ale vybírat chceme již za 13 let

Pravá strana:

• anuita * vzorec pro výpočet současné hodnoty (P₀)* vklad předlhůtně
• vzorec pro výpočet současné hodnoty - roční úrokovou sazbu je již nutné přepočítat na frekvenci anuity

$R=R\bullet \frac{{(1+\frac{0.1105}{1})}^{17\bullet 1}-1}{\frac{0.1105}{1}}\bullet (1+\frac{0.1105}{1})\bullet {(1+\frac{0.1105}{1})}^{-4}=\mathrm{8\; 400}\bullet \frac{{1-(1+0.0265)}^{-4\bullet 4}}{0.0265}\bullet (1+0.0265)$

Rozbor úlohy

Dosadíme do vzorce:

$360\cdot e^{\left(\frac{\ln \left(8\right)}{360\cdot 2}\right)-1}=\mathrm{1,0412}$

Rozbor úlohy

Úloha na současnou hodnotu odložené anuity. V tomto zadání chceme zjistit jakou částku (P0-současná hodnota) musíme dnes uložit, aby nám zajistila roční příjem po určitou dobu, přičemž peníze se úročí složeným úročením a první platba přijde až za nějaké období. Pozor dejme na kolonku první platby, kde je nutné hodnotu převést na frekvenci příjmu. Nominální úroková sazba je pololetní a frekvence vyplácení také, proto sazbu nepřevádíme.

Počítáme současnou hodnotu anuit. Současná hodnota (P0) odložené anuity se vypočítá tak, že nejprve spočteme současnou hodnotu běžné anuity (která začíná na konci prvního období) a pak ji diskontujeme o dobu odložení. Protože se první anuita vyplatí na koci období a současná hodnota je vlastně na začátku období, použijeme úročitele jednoho období. My tu částku vlastně diskontujeme o 4 období, protože ta období budou peníze ležet na účtu a dále se zúročovat. Proto současná hodnota bude ještě menší. On je to vlastně obrácený proces k budoucí hodnotě anuit.

$P_0=\mathrm{6\; 600}\bullet \frac{{\mathrm{1-}(1+0.04605)}^{-2\bullet 12}}{0.04605}\bullet (1+0.04605)\bullet {(1+0.04605)}^{-4}$

Rozbor úlohy

Jde o odloženou perpetuitu s roční platbou 200, první výplata za 14 pololetí = za 7 let.

Postup

$P_0=\frac{200}{0.1522949025}\bullet (1+0.1522949025)\bullet {(1+0.1522949025)}^{-7}$
$P_0=560.9999008096048$

Rozbor úlohy

Jde o odloženou perpetuitu s roční platbou 200, první výplata za 14 pololetí = za 7 let.

Postup

$P_0=\frac{200}{0.1522949025}\bullet (1+0.1522949025)\bullet {(1+0.1522949025)}^{-7}$
$P_0=560.9999008096048$