Rozbor úlohy - jakou částku spoříte?

Jedná se o rovnici, kde na jedné straně použijeme vzorec pro budoucí hodnotu důchodu. Neznámá zde bude výše anuity, kterou spoříme. Na druhé straně použijeme současnou hodnotu anuity, kterou vybíráme. Komplikace nastává ve změně úrokové sazby, je tedy nutné rozdělit část výpočtu na dvě části. První část bude spočítána s původní sazbou a druhá část s novou sazbou. Ohled je potřeba vzít na časovou osu, tedy kolik let uplynulo od začátku spoření do okamžiku výběru.

Levá strana: Zde je použit vzorec pro budoucí hodnotu důchodu polhůtného, protože nás zajímá budoucí hodnota anuity(v tomto případě ji neznáme). Jelikož se jedná o spoření(vklady na začátku období), řešíme předlhůtně. Nakonec ještě úročíme o 16 období, protože peníze leží na účtu a jsou dále úročeny.

$$P_t=R\bullet \frac{{(1+\frac{i_m}{m})-1}^{-n\bullet m}}{\frac{i_m}{m}}\bullet (1+\frac{i_m}{m})\bullet {(1+\frac{i_m}{m})}^{-n\bullet m}$$

Pravá strana: Použijeme vzorec pro sočasnou hodnotu polhůtného důchodu. Zvlášť pro každou úrokovou sazbu po určité období.

$P_o=R\bullet \frac{1-{(1+\frac{i_m}{m})}^{-n\bullet m}}{\frac{i_m}{m}}$

Rovnou si radši ukážeme popsané řešeni s dosazenými proměnnými.

Řešení

Nyní dosadíme do vzorce hodnoty proměnných, které známe.

Na levé straně se na časové ose dostáváme do bodu po osmi letech. Jelikož je v zadání napsáno, že spoření probíhá na začátku, je potřeba ještě úročit o jedno období. Nakonec ještě úročíme další 4 roky do bodu, kde začíná výběr.

$$R\bullet \frac{{(1+0.012552156)}^{8\bullet 4}-1}{0.012552156}\bullet (1+0.012552156)\bullet {(1+0.012552156)}^{4\bullet 4}$$
$\text{Výsledek levé strany:}=48.31613783$

Jelikož frekvence úročení není stejná jako frekvence vyplácení, je nuto sazbu převádět.

Pravá strana - úroková sazba i4:

$$\mathrm{10\; 000}\bullet \frac{1-{(1+0.012552156)}^{-5}}{0.012552156}\bullet (1+0.012552156)$$

Diskontujeme předlhůtně 5 měsíců k datu prvního výběru. Stále původní sazbou.

$\text{Výsledek:}=\mathrm{48\; 894.79872}$

Pravá strana - úroková sazba i2: Frekvence úročení a výběru je shodná, není tudíž potřeba sazbu převádět. Počítáme současnou hodnotu důchodu. Výběry jsou po dobu 30 období, ale 5 období odečteme v rámci druhé sazby. Stále se pohybujeme v předlhůtném důchodu, protože výběry probíhají na začátku každého období.

$\mathrm{10\; 000}\bullet \frac{1-{(1+\frac{0.08}{2})}^{-(\mathrm{30}-5)}}{\frac{0.08}{2}}\bullet (1+\frac{0.08}{2})$
$\text{Výsledek:}=\mathrm{162\; 469.6314}$

Vytvoříme rovnici: 48.31613783 R = 48 894.79872 + 162 469.6314

R = 4374.613527

Rozbor úlohy - Kolik bude na účtu v okamžiku prvního výběru před výběrem

Zde pouze dosadíme do vzorce pro budoucí hodnotu důchodu polhůtného, kde již známe výši anuity R.

Řešení

Nyní dosadíme do vzorce hodnoty.

$$\mathrm{4374.613527}\bullet \frac{{(1+0.012552156)}^{8\bullet 4}-1}{0.012552156}\bullet (1+0.012552156)\bullet {(1+0.012552156)}^{4\bullet 4}$$

Výsledek: 211 364.4301