Rozbor úlohy - hodnotová rovnice

Budeme sestavovat rovnici NPV(net present value) neboli ČSH(čistá současná hodnota). Pokud vyjde hodnota záporná, pak je investice nevýhodná. Pokud je hodnota kladná, pak je investice výhodná. Rovnice bude obsahovat všechny výdaje a příjmy, které se vyskytují v daném období. V našem případě se jedná o jednorázový výdaj za koupi bytu, jednorázový výdaj za rekonstrukci, pravidelný příjem z nájemného a jednorázový příjem z prodeje bytu. Je nutné porovnávat časovou hodnotu peněz a proto je nutné všechny výdaje a příjmy diskontovat na současnou hodnotu. Následující rovnice představuje záporné fianční toky, tedy výdaje.

${\mathrm{NPV}}^{-}=\mathrm{1\; 200\; 000}+\mathrm{200\; 000}\bullet {\left(1+\frac{\mathrm{i2}}{12}\right)}^{-3}$

Počítáme tedy výdaje v čase nula. Jednorázový výdaj na koupi bytu byl zaplacen ihned, tuto částku nikam v čase neposouváme. Přičítáme diskontovanou částku za rekonstrukci. To znamená, že ji nemůžeme nechat v nominální hodnotě, ale musíme ji diskontovat na současnou hodnotu. Rekonstrukce proběhne za 3 měsíce, tedy diskontujeme o 3 měsíce zpět. Částka bude nižší. Jelikož se pohybujeme v měsíčním časovém rámci, musíme použít měsíční úrokovou sazbu. Převedeme tedy roční úrokovou sazbu na měsíční. Jelikož již používáme měsíční úrokovou sazbu v odúročiteli, do indexu dosadíme pouze počet měsíců, o které se posouváme zpět. V tomto případě tedy 3 měsíce. Nezapomeneme, že odúročitel se od úročitele liší pouze záporným znaménkem.

${\mathrm{NPV}}^{+}=\mathrm{4\; 000}\bullet \frac{1-{\left(1+\frac{\mathrm{i2}}{12}\right)}^{-12\bullet 5}}{\frac{\mathrm{i2}}{12}}\bullet \left(1+\frac{\mathrm{i2}}{12}\right)\bullet {\left(1+\frac{\mathrm{i2}}{12}\right)}^{-5}+\mathrm{1\; 300\; 000}\bullet {\left(1+\frac{\mathrm{i2}}{12}\right)}^{-67}$

Nejdříve se zaměříme na nájem. Zde řešíme pomocí vzorce pro současnou hodnotu důchodu vlastně zásobitele, tedy současnou hodnotu anuit. Chceme tedy vědět, jakou současnou hodnotu mají budoucí příjmy z nájmu. Pro diskontovanou hodnotu šedesáti nájmů postačí použít zásobitele. Výsledek je ovšem následně potřeba posunout v čase, jelikož první nájem jsme obdrželi až za 5 měsíců(3 měs. rekonstrukce a první nájem za 2 měs.). No, a aby to nebylo tak jednoduché, tak je myšleno na začátku pátého měsíce. Proč? No protože jsme diskontovali na začátek prvního měsíce. Tedy pokud víme, že první nájem dostaneme za 5 měsíců, ale na začátku, pak je potřeba uvažovat předlhůtně. Proto je ve vzorci úročitel představující předlhůtné anuity a až poté následuje odúročení 5 měsíců. Počítat je ovšem možné jak předlhůtně, tak polhůtně.

${\mathrm{NPV}}^{+}=\mathrm{4\; 000}\bullet \frac{1-{\left(1+\frac{\mathrm{i2}}{12}\right)}^{-12\bullet 5}}{\frac{\mathrm{i2}}{12}}\bullet \left(1+\frac{\mathrm{i2}}{12}\right)\bullet {\left(1+\frac{\mathrm{i2}}{12}\right)}^{-5}$
${\mathrm{NPV}}^{+}=\mathrm{4\; 000}\bullet \frac{1-{\left(1+\frac{\mathrm{i2}}{12}\right)}^{-12\bullet 5}}{\frac{\mathrm{i2}}{12}}\bullet {\left(1+\frac{\mathrm{i2}}{12}\right)}^{-4}$

Poslední příjem máme z prodeje bytu. Ten pouze diskontujeme o všechna období(měsíce v tomto případě) do bodu nula. Napočítali bychom 68 období, ale jelikož uvažujeme předlhůtně, jedno období ubereme nebo použijeme navíc odúročitele podobně jako u nájmu.

${\mathrm{NPV}}^{+}=\mathrm{1\; 300\; 000}\bullet {\left(1+\frac{\mathrm{i2}}{12}\right)}^{-67}$ ${\mathrm{NPV}}^{+}=\mathrm{1\; 300\; 000}\bullet {\left(1+\frac{\mathrm{i2}}{12}\right)}^{}\bullet {\left(1+\frac{\mathrm{i2}}{12}\right)}^{-68}$

Řešení

Ačkoliv je možné hodnotovou rovnici sestavit v celku, je vhodné ji rozdělit na záporné a kladné toky viz. rozbor úlohy. Dosadíme hodnoty do rovnice záporných toků a vypočítáme. To samé v případě toků kladných.

${\mathrm{NPV}}^{-}=\mathrm{1\; 200\; 000}+\mathrm{200\; 000}\bullet {\left(1+\frac{\mathrm{i2}}{12}\right)}^{-3}=\mathbf{1\; 397\; 630.883}$ ${\mathrm{NPV}}^{+}=\mathrm{4\; 000}\bullet \frac{1-{\left(1+\frac{\mathrm{i2}}{12}\right)}^{-12\bullet 5}}{\frac{\mathrm{i2}}{12}}\bullet \left(1+\frac{\mathrm{i2}}{12}\right)\bullet {\left(1+\frac{\mathrm{i2}}{12}\right)}^{-5}+\mathrm{1\; 300\; 000}\bullet {\left(1+\frac{\mathrm{i2}}{12}\right)}^{-67}=\mathbf{1\; 206\; 001.078}$

Nakonec odečteme od kladných toků ty záporné.

$\text{NPV}=\mathrm{1\; 206\; 001.078}-\mathrm{1\; 397\; 630.883}$
$\text{NPV}=-\mathbf{191\; 629.4151}$

Jelikož je výsledek záporný, investice není výhodná.