Rozbor úlohy - vyrovnání ihned

Nejdříve je potřeba si uvědomit co známe a jakou neznámou chceme spočítat. Zde známe výši anuity a ptáme se na současnou hodnotu těchto plateb. Že se jedná o současnou hodnotu a ne budoucí, poznáme ze slovního spojení "termin vyrovnání bude ihned". Použijeme vzorec pro zásobitele, skrze který spočítáme současnou hodnotu anuity.

$$P_0=R\bullet \frac{1-{(1+\frac{i_m}{m})}^{-n\bullet m}}{\frac{i_m}{m}}$$

Na levé straně vzorce se nachází neznámá současné hodnoty a na pravé straně násobíme výši anuity diskontním faktorem.

Řešení

Nyní dosadíme do vzorce hodnoty proměnných, které známe. V tuto chvíli se jedná o výši anuity, tedy dosadíme za R. Dále o počet let, dosadíme za n. Nakonec za m, které je součástí mocniny dosadíme frekvenci plateb. Problém nastává v tom, že známe pouze nominální(roční) úrokovou míru, kterou je nutné převést na efektivní úrokovou míru. Přepočtenou sazbu poté dosadíme za zlomek reprezentující efektivní úrokovou míru.

$$P_0=\mathrm{5000}\bullet \frac{1-{(1+0.0049)}^{-5\bullet \mathrm{12}}}{0.0049}$$

Dále je Důl v Africeežité si uvědomit, že se jedná o důchod předlhůtný. To znamená, že výsledek je potřeba diskontovat o jedno období.

$$P_0=\mathrm{5000}\bullet \frac{1-{(1+0.0049)}^{-5\bullet \mathrm{12}}}{0.0049}\bullet (1+0.0049)$$

To znamená, že čistá současná hodnota bude vyšší, jelikož již s první platbou mohu disponovat, tedy ji zúročovat.

Ověřený výsledek: 260 882.81708440345

Rozbor úlohy - vyrovnání později

Zde se jedná o odložený důchod. Opět spočítáme současnou hodnotu anuit. Následně diskontujeme o n měsíců dopředu po časové ose.

$$P_0=R\bullet \frac{1-{(1+\frac{i_m}{m})}^{-n\bullet m}}{\frac{i_m}{m}}\bullet {(1+\frac{i_m}{m})}^n$$

Na levé straně vzorce se nachází neznámá současné hodnoty a na pravé straně násobíme výši anuity diskontním faktorem. Následně ještě pak úročitelem

Řešení

Postupujeme jako v předchozím případě, tedy spočítáme současnou hodnotu anuity. Poté ještě diskontujeme o n měsíců dopředu po časové ose. V tomto případě je n = 9 měsíců, protože první platba bude vyplacena 10.11. 2020 a my počítáme s termínem vyrovnání 10.08. 2021.

$$P_0=\mathrm{5000}\bullet \frac{1-{(1+0.0049)}^{-5\bullet \mathrm{12}}}{0.0049}\bullet {(1+0.0049)}^9$$

Rozbor úlohy - ekvivalentní renta

Porovnáváme dvě renty, které mají stejnou současnou hodnotu. Jelikož má druhá renta jinou frekvenci a dobu vyplácení, bude velikost anuity rozdílná. Výši této anuity chceme vypočítat. Dle principu ekvivalence platí, že je nutné porovnávat hodnotu ke stejnému datu. Proto je nutné ČSH jesště diskontovat ke stejnému datu.

$$R\bullet \frac{1-{(1+\frac{i_m}{m})}^{-n\bullet m}}{\frac{i_m}{m}}\bullet {(1+\frac{i_m}{m})}^n=R\bullet \frac{1-{(1+\frac{i_m}{m})}^{-n\bullet m}}{\frac{i_m}{m}}\bullet (1+\frac{i_m}{m})$$

Řešení

Nejdříve spočítáme současnou hodnotu anuity stejným způsobem, jako jsme již spočítali v prvním případě. Ve druhém kroku položíme tuto hodnotu rovno vzorci zásobitele s novou frekvencí a dobou úročení.

$$\mathrm{5000}\bullet \frac{1-{(1+0.0049)}^{-5\bullet \mathrm{12}}}{0.0049}\bullet {(1+0.0049)}^9=R\bullet \frac{1-{(1+\frac{i_m}{m})}^{-n\bullet m}}{\frac{i_m}{m}}\bullet (1+\frac{i_m}{m})$$

Rozbor úlohy - navyšování

Použijeme vzorec pro budoucí hodnotu rostoucí anuity s úrokovou mírou a růstem plateb.

$$P_t=R\cdot \frac{{\frac{1+j}{1+i}}^n-1}{\frac{1+j}{1+i}-1}\cdot {(1+i)}^{n-1}$$

Řešení

Nejdříve dosadíme hodnoty do vzorce a poté diskontujeme do současné hodnoty.

$$P_t=60000\cdot \frac{{\left(\frac{1.05}{{\left(1+\frac{0.03}{12}\right)}^{12}}\right)}^{15}-1}{\left(\frac{1.05}{{\left(1+\frac{0.03}{12}\right)}^{12}}\right)-1}\cdot {\left({\left(1+\frac{0.03}{12}\right)}^{12}\right)}^{14}\cdot {\left({\left(1+\frac{0.03}{12}\right)}^{12}\right)}^{-14}=1$$