Pojmy

Veškeré pojmy, které je nutné znát v rámci předmětu FIP/FIPV

P₀ - současná hodnota. V rámci hypotéky uvažujeme půjčenou částku. U důchodu či perpetuity částku, kterou je potřeba vložit.
P_t - budoucí hodnota, kterou získáme úročením. U hypotéky se jedná o konečnou částku, kterou zaplatíme. U spoření částku, jakou na konci spoření dostaneme.
u - jednoduchý nebo složený úrok
t - časové období
i - úroková míra (sazba)
- I_m - nominální (roční) úroková míra
- Ief - efektivní úroková míra (roční)
- Reálná - reálná úroková míra
- r - úroková míra za úrokovací období
m - počet období během roku, frekvence připisování
n - počet úrokovacích období
e - Eulerovo číslo (přibližně 2,71828), základ přirozeného logaritmu
R - pravidelná platba důchodu
Úrokovací / diskontní faktor
- Úročitel - budoucí hodnota jednorázového vkladu
- Odúročitel - současná hodnota budoucího výnosu
- Střadatel - budoucí hodnota anuity
- Fondovatel - anuita pro dosažení budoucí hodnoty
- Umořovatel - anuitní splátka kapitálu
- Zásobitel - současná hodnota anuity
Úročení
- jednoduché úročení
- področní úročení
- spojité úročení
- smíšené úročení
- složené úročení
- p.a. - úročení ročně
- p.s. - úročení půlročně
- p.q. - úročení čtvrtletně
- p.m. - úročení měsíčně
- p.d. - úročení denně
Časová hodnota peněz
Diskont
- Matematicky diskont
- Bankovni diskont

Důchod
Důchod předlhůtní
Důchod polhůtní
Důchod převislý
Odložený důchod
Důchod jednoduchý
Důchod obecný

Anuita
Perpetuita
Akumulační faktor
Diskontní faktor
Kapitalizace
Hodnocení projektů
- Čistá současná hodnota (ČSH,NPV)
- Index ziskovosti
- Vnitřní výnosové procento

Současná hodnota

Současná hodnota (P₀, PV) je základní finanční pojem, který vyjadřuje hodnotu budoucích peněžních toků v dnešních penězích. Jinými slovy, ukazuje nám, kolik bychom dnes museli investovat, abychom v budoucnu obdrželi určitou částku peněz. Současná hodnota se počítá pomocí diskontování, což je proces, kdy se budoucí peněžní toky přepočítávají na jejich současnou hodnotu. K tomu se používá diskontní sazba, která zohledňuje časovou hodnotu peněz.

Budoucí hodnota

Budoucí hodnota (P_t, FV) je finanční koncept, který vyjadřuje hodnotu investice nebo aktiva v budoucím čase. Můžeme ji chápat jako to, kolik peněz budeme mít v budoucnu, pokud dnes investujeme určitou částku a ta se bude zhodnocovat danou úrokovou sazbou. Budoucí hodnota se počítá pomocí úročení, což je proces, kdy se k investované částce přičítají úroky. Existují dva základní typy úročení:

Jednoduché úročení: Úroky se počítají pouze z počáteční investice.
Složené úročení: Úroky se počítají jak z počáteční investice, tak z dříve připsaných úroků.

V rámci tohoto předmětu budeme pracovat s dalšími druhy úročení

Smíšené úročení: Úroky se počítají kombinací jednoduchého a složeného úročení.
Spojité úročení: Úroky se počítají neustále.

Úrok

Úrok je cena za použití cizího kapitálu (nezaměňujme s úrokovou sazbou). Vypočítává se na základě úrokové sazby, doby trvání a způsobu úročení.

Časové období

Časové období je důležité pro určení délky trvání plateb. Udává se v jednotkách let, pololetí apod.

Úroková míra

Pomocí odúročitele se zjišťuje současná hodnota budoucí hodnoty. Například kolik dnes musím vložit, abych za 5 let měl 1000 Kč při úrokové míře 12% p.a.

Nominální úroková míra

Je to úroková míra, která je uvedena v podmínkách půjčky nebo investice, aniž by zohledňovala frekvenci úročení nebo inflaci. Například: Roční nominální úroková míra 6 % znamená, že za jeden rok se úročí 6 % z jistiny.

Efektivní úroková míra

Zohledňuje frekvenci úročení (např. měsíční, čtvrtletní, pololetní). Efektivní úroková míra je vždy vyšší než nominální, pokud je úročení častější než jednou ročně.

Reálná úroková míra

Zohledňuje inflaci a udává skutečný výnos nebo náklady po odečtení inflace.

Úroková míra za úrokovací období

Úroková míra za úrokovací období je úroková sazba, která se vztahuje k jednomu konkrétnímu úrokovacímu období (např. měsíci, čtvrtletí, pololetí). Tato sazba se vypočítá z roční (nominální) úrokové míry a frekvence úročení.

Počet období během roku

Počet období během roku (m) je počet úrokovacích období, do kterých se rok rozdělí při výpočtu úroků. Tento parametr závisí na frekvenci připisování úroků a ovlivňuje, jak často se úrok přidává k jistině.

Počet úrokovacích období

Počet úrokovacích období (n) je celkový počet období, během kterých se úrok připisuje k jistině. Tento parametr závisí na frekvenci připisování úroků a době trvání investice nebo půjčky

Eulerovo číslo

Používá se při výpočtu spojitého úročení, kdy se úroky připisují neustále. Použijeme například v zápočtové úloze Investiční fond

Pravidelná platba důchodu

Anuitní platba, tedy série pravidelných plateb (příjmů nebo nebo výdajů) v pravidelných časových intervalech po určitou dobu. Důchodové platby jsou (např. měsíčně, čtvrtletně nebo ročně).

Úrokovací faktor

Úrokovací faktor (někdy označovaný jako faktor růstu) je matematický výraz, který vyjadřuje, jak se peníze zhodnotí za určité období při dané úrokové sazbě. Tyto termíny byly použity v předmětu FIM, který předchází FIP. V materiálech se s nimi nesetkáte, ale pro pochopení je dobré znát souvislost.

Úročitel

Pomocí úročitele zjišťujeme budoucí hodnotu současné hodnoty. Například kolik bude mít dnes vložených 1000 Kč za 5 let při úrokové míře 12% p.a.

Vzorec představující úročitele: ${(1 + \frac{i_{m}}{m})}^{m ∙ n}$
Vzorec pro výpočet budoucí hodnoty: $P_{t} = P_{0} ∙ {(1 + \frac{i_{m}}{m})}^{m ∙ n}$

Odúročitel

Pomocí odúročitele se zjišťuje současná hodnota budoucí hodnoty.

Vzorec představující odúročitele: ${(1 + \frac{i_{m}}{m})}^{-m ∙ n}$
Vzorec pro výpočet současné hodnoty: $P_{0} = P_{t} ∙ {(1 + \frac{i_{m}}{m})}^{- m ∙ n}$

Můžeme se také setkat s tímto zápisem odúročitele: $\frac{1}{{(1 + \frac{i_{m}}{m})}^{m}}$

Střadatel

Pomocí střadatele zjišťujeme budoucí hodnotu anuit(pravidelných vkladů).

Vzorec představující střadatele: $\frac{(1 + i)^{n} - 1}{i}$
Vzorec pro výpočet budoucí hodnoty: $P_{t} = R \cdot \frac{(1 + i)^{n} - 1}{i}$

Fondovatel

Pomocí fondovatele zjišťujeme výši anuity pro dosažení budoucí hodnoty.

Vzorec představující fondovatele: $\frac{i}{{(1 + i)}^{n} - 1}$
Vzorec pro výpočet vkladu: $R = P_{t} ∙ \frac{i}{{(1 + i)}^{n} - 1}$

Umořovatel

Pomocí umořovatele zjišťujeme výši pravidelných splátek(i s úroky).

Vzorec představující umořovatele: $\frac{i}{1 - {(1 + i)}^{- n}}$
Vzorec pro výpočet splátky: $R = \frac{P_{t} i}{1 - {(1 + i)}^{- n}}$

Zásobitel

Pomocí zásobitele zjišťujeme současnou hodnotu pravidelných plateb..

Vzorec představující zásobitele: $\frac{1 - {(1 + i)}^{- n}}{i}$
Vzorec pro výpočet současné hodnoty: $P_{0} = R ∙ \frac{1 - {(1 + i)}^{- n}}{i}$

Úročení

Úročení je proces, při kterém se peníze zhodnocují v čase díky přidávání úroků k původní částce. Úročení je základem finanční matematiky a používá se v různých oblastech, jako jsou spoření, investice, půjčky a důchodové plány. Existují dva hlavní typy úročení: jednoduché úročení a složené úročení.

Jednoduché úročení

Jednoduché úročení je metoda výpočtu úroku, při které se úrok počítá pouze z počáteční jistiny (počáteční částky) a nebere se v úvahu úrok z předchozích období. To znamená, že úrok je konstantní v každém období a celkový růst hodnoty je lineární. Jednoduché úročení se často používá u krátkodobých finančních produktů nebo v případech, kdy je úročení jednorázové.

Področní úročení

Področní úročení je situace, kdy se úroky počítají a přidávají k jistině častěji než jednou za rok. To znamená, že úroková sazba je aplikována v kratších časových intervalech, například měsíčně, čtvrtletně nebo pololetně. Področní úročení je běžné u spořicích účtů, investic a úvěrů, kde se úroky připisují pravidelně během roku.

Spojité úročení

Spojité úročení je forma úročení, při které se úroky připisují nekonečně často, tedy v každém okamžiku. Spojité úročení je teoretický extrém, který se v praxi přímo nepoužívá, ale je užitečný pro modelování a porozumění složenému úročení s velmi vysokou frekvencí.

Smíšené úročení

Smíšené úročení je kombinací jednoduchého úročení a složeného úročení. Používá se v situacích, kdy doba úročení není celočíselným násobkem úrokového období (např. roční úročení, ale doba úročení je 2 roky a 6 měsíců). V takových případech se pro celá úroková období použije složené úročení a pro zbývající zlomkovou část se použije jednoduché úročení.

Složené úročení

Složené úročení je metoda výpočtu úroku, při které se úroky počítají nejen z počáteční jistiny, ale také z úroků nahromaděných v předchozích obdobích. To znamená, že úroky se "složeně" přidávají k jistině, což vede k exponenciálnímu růstu hodnoty investice nebo dluhu v čase. Složené úročení je základem mnoha finančních produktů, jako jsou spořicí účty, investice a úvěry.

Úročení ročně (per annum)

Úrok se připisuje 1x ročně.

1000 ∙ {(1 + 0.12)}^{1} = 11 200.-

Hodnota po 1 roce je 11 200.-

Úročení pololetně (per semestre)

Úrok se připisuje 2x ročně (každých 6 měsíců).

1000 ∙ {(1 + \frac{0.12}{2})}^{2} = 11 200.-

Výpočet:

Po 1. pololetí: 10 000 ∙ 1.06 = 10 600.-

Po 2. pololetí: 10 600 ∙ 1.06 = 11 236.-

Hodnota po 1 roce je 11 236.-

Úročení čtvrtletně (per quartale)

Úrok se připisuje 4x ročně (každé 3 měsíce).

1000 ∙ {(1 + \frac{0.12}{4})}^{4} = 11 255.-

Výpočet:

Po 1. čtvrtletí: 10 000 * 1.03 = 10 300.-

Po 2. čtvrtletí: 10 300 * 1.03 = 10 609.-

Po 3. čtvrtletí: 10 609 * 1.03 = 10 927.27.-

Po 4. čtvrtletí: 10 927.27 * 1.03 = 11 255.09.-

Hodnota po 1 roce je 11 255.-

Úročení měsíčně (per mensem)

Úrok se připisuje 12x ročně (každý měsíc).

1000 ∙ {(1 + \frac{0.12}{12})}^{12} = 11 268.25.-

Hodnota po 1 roce: 11 268.25.-

Úročení denně (per diem)

Úrok se připisuje 365x (anglická metoda) nebo 360x (německá metoda) ročně (každý den).

1000 ∙ {(1 + \frac{0.12}{365})}^{365} = 11 274.75.-

Hodnota po 1 roce: 11 274.75.-

Časová hodnota peněz

Časová hodnota peněz je základní koncept ve financích, který říká, že peníze mají různou hodnotu v závislosti na tom, kdy je obdržíme. Dnes obdržená koruna má větší hodnotu než koruna obdržená v budoucnu.

Proč má v dnešní době větší hodnotu než v budoucnu:

Možnost investice: Peníze, které máme dnes, můžeme investovat a získat z nich výnos. Peníze, které obdržíme v budoucnu, tuto možnost nemají.
Inflace: Inflace snižuje kupní sílu peněz. To znamená, že za stejnou částku peněz si v budoucnu koupíme méně zboží a služeb než dnes.
Riziko: V budoucnu může dojít k událostem, které nám zabrání peníze obdržet.

Diskont

Diskont označuje snížení hodnoty budoucí platby nebo částky na její současnou hodnotu.

Matematicky diskont

Matematický diskont je metoda, která počítá současnou hodnotu budoucí částky pomocí úrokové sazby (diskontní sazby). Je založen na principu časové hodnoty peněz. Používá se pro obecné výpočty současné hodnoty budoucích peněžních toků a zohledňuje časovou hodnotu peněz.

Bankovní diskont

Bankovní diskont je metoda, kterou banky používají pro výpočet úroku z krátkodobých finančních nástrojů (např. směnek nebo pokladničních poukázek). Úrok se počítá z nominální hodnoty (budoucí hodnoty) a odečítá se předem. Úrok se odečítá předem, nebere v úvahu složené úročení.

Důchod

Důchod je pravidelná (opakující se) peněžní platba nebo příjem fixní částky v pravidelných časových intervalech (např. měsíčně, čtvrtletně, ročně) po určitou dobu.

Vlastnosti důchodu:

Pravidelnost: Platby přicházejí ve stejném intervalu (měsíc, rok...).
Stejná výše: Výše každé platby je konstantní.
Úročení: Každá platba je úročena (má časovou hodnotu).
Doba trvání: Důchod může být časově omezený (např. 10 let) nebo nekonečný (věčný důchod neboli perpetuita).

Důchod předlhůtní

Anuity jsou placeny na počátku daného časového intervalu.

Důchod polhutní

Anuity jsou placeny na konci daného časového intervalu.

Důchod převislý

Důchod převislý je typ důchodu, u kterého jsou platby zpožděné nebo opožděné, tj. nejsou vypláceny včas podle původní dohody. Tento koncept se obvykle používá v situacích, kdy dochází k prodlení ve výplatách, například kvůli administrativním chybám, technickým problémům nebo finančním potížím poskytovatele důchodu.

Důchod odložený

Důchod odložený je typ finančního produktu, u kterého jsou výplaty (důchod) odloženy do budoucna, obvykle po určité akumulační fázi. Během této akumulační fáze klient pravidelně spoří nebo investuje, a až po uplynutí stanoveného období (např. po dosažení důchodového věku) začne pobírat pravidelné platby (důchod).

Důchod jednoduchý

Důchod jednoduchý je typ důchodu, u kterého jsou platby nebo příjmy pravidelné a stejné po celou dobu trvání, a úročení probíhá jednoduchým úročením (ne složeným). Tento typ důchodu se používá v situacích, kdy jsou platby pravidelné a úroková sazba se aplikuje pouze na počáteční jistinu, nikoli na nahromaděné úroky.

Důchod obecný

Důchod obecný je typ důchodu, u kterého platby nebo příjmy probíhají v pravidelných intervalech, ale období plateb a úrokových období se nemusí shodovat. To znamená, že platby mohou být prováděny například měsíčně, zatímco úročení probíhá čtvrtletně nebo ročně. Tento typ důchodu je flexibilnější než jednoduchý důchod a používá se v situacích, kdy je potřeba sladit různé frekvence plateb a úročení.

Anuita

Anuita je pravidelná série plateb nebo příjmů, které se uskutečňují v pravidelných časových intervalech (například měsíčně, čtvrtletně nebo ročně).

Perpetuita

Perpetuita (nebo také věčná anuita) je speciální typ anuity, kde platby nebo příjmy pokračují donekonečna. To znamená, že počet platebních období (n) je nekonečný.

Akumulační faktor

Akumulační faktor ukazuje, jak se peníze zhodnocují v čase díky úročení.

Diskontní faktor

Diskontní faktor je nástroj, který umožňuje převést budoucí peněžní toky na jejich současnou hodnotu.

Kapitalizace

Kapitalizace je proces, při kterém se úroky přidávají k jistině (počáteční částce), a následně se úročí i tyto přidané úroky. Tento princip se nazývá složené úročení a vede k exponenciálnímu růstu hodnoty peněz v čase.

Hodnocení projektů

Hodnocení projektů je proces analýzy a porovnávání různých investičních nebo podnikatelských projektů za účelem rozhodnutí, který projekt je nejvýhodnější z hlediska finanční návratnosti, rizika a strategických cílů.

Čistá současná hodnota (NPV – Net Present Value)

Čistá současná hodnota je rozdíl mezi současnou hodnotou příjmů a současnou hodnotou výdajů projektu. Projekty s kladnou NPV jsou považovány za výhodné.

Index ziskovosti (PI – Profitability Index)

Index ziskovosti je poměr současné hodnoty příjmů k počáteční investici.

Vnitřní výnosové procento (IRR – Internal Rate of Return)

IRR je diskontní sazba, při které je čistá současná hodnota projektu nulová. Projekty s IRR vyšším než požadovaná míra návratnosti jsou považovány za výhodné.

Důchod předlhůtný

Poslední platba proběhne před ukončením důchodu. Jedno období po poslední platbě končí důchod. Začátek je shodný s první platbou.

Důchod polhůtný

Poslední platba se shoduje s koncem důchodu. První platba až následující období.

Področní úročení

Področní úročení je způsob úročení, kdy se úroky připisují vícekrát než jednou za rok. Nejčastěji se setkáte s pololetním, čtvrtletním nebo měsíčním úročením. V rámci tohoto předmětu ovšem počítejme také s denním, dvouměsíčním nebo třetinovým (1/3 roku).

Čistá současná hodnota (ČSH,NPV)

Nejčastější kritérium hodnocení projektů. Porovnává současnou hodnotu peněžních toků, přičemž bere v úvahu časovou hodnotu peněz. Pokud je NPV kladná, investice je výhodná; pokud je záporná, investice není výhodná.

Vzorec pro výpočet složeného úroku je.

\frac{K_{1}}{1 + i} + \frac{K_{2}}{{(1 + i)}^{2}} + ∙ ∙ ∙ \frac{K_{t}}{{(1 + i)}^{t}}

Vnitřní výnosová míra (vnitřní výnosové procento, VVP, IRR)

VVP je diskontní sazba, při které se čistá současná hodnota (NPV) všech peněžních toků z investice rovná nule. Jinými slovy, IRR je úroková sazba, při které se současná hodnota příjmů rovná současné hodnotě výdajů. IRR se používá k hodnocení atraktivity investice – čím vyšší IRR, tím výhodnější investice. Vychází z ČSH.

Index ziskovosti (IZ,PI)

IZ je finanční metrika používaná k hodnocení atraktivity investičních projektů. Pomáhá rozhodnout, zda je investice zisková a zda by měla být realizována.

Úroková míra

Úroková míra je procento, které určuje, kolik musí dlužník zaplatit věřiteli za půjčení peněz, nebo kolik investor získá jako výnos ze své investice. Používá se pro výpočet úroků na půjčky, hypotéky, spořicí účty nebo jiné finanční produkty.

Nominální úroková míra

Nominální úrokovou míru používáme ve spojení s jednoduchým úročením. Máme-li úrokovou mírou 12% p.a. (ročně) a úroky jsou připisovány například čtvrtletně, je potřeba přepočíst roční sazbu na čtvrtletní. V jednoduchém úročení je to jednoduché. Sazbu roční vydělíme frrekvencí připisování. Tedy 12/4 a dostaneme nominální úrokovou míru 3%.

Příklad: Mějme nominální úrokovou míru 10 % p. a. připisovanou čtvrtletně, jaká je nominální úroková míra? Výsledek je 2.5%

Efektivní úroková míra

Používá se u složeného úročení. Čím častěji se úroky připisují, tím vyšší je efektivní úroková míra. Přepočet je již složitější.

Příklad: Pokud je úroková míra u spoření 12% ročně, jaká je efektivní úroková míra při čtvrtletním úročení? ief = (1+0.12/4)**4

Diskontní sazba

Diskontní sazba je procento, které určuje, za jakou cenu se v současnosti diskontují (snižují) budoucí peněžní toky, aby se zjistila jejich současná hodnota. Používá se při výpočtu současné hodnoty budoucích peněžních toků, především v rámci investičního rozhodování, oceňování nebo při výpočtu diskontovaných peněžních toků Diskontní sazba ukazuje, o kolik méně má dnes budoucí částka hodnotu v porovnání s jejím budoucím stavem. Vyjadřuje očekávanou míru výnosu nebo náklady na kapitál při ocenění investic.

Příklad:Pokud má být získáno 10 000 Kč za 2 roky a diskontní sazba je 5 %, současná hodnota této částky by byla nižší, než je její budoucí hodnota, což odpovídá částce diskontované o tuto sazbu. Jedná se o souvislost s časovou hodnotou peněz, kdy částka v budoucnu má nižší hodnotu než ta samá částka dnes.