Spoření

Zadání

Spoření obsahuje 30 pololetních vkladů o velikosti 500 placených na začátku období Úroková sazba i2 = 4 % p.a. se mění na sazbu i12 = 8 % v okamžiku 10. vkladu. Pokud toto spoření chcete nahradit jednorázovým vkladem, jakou částku musíte vložit?

V okamžiku 1. vkladu?
V okamžiku 20. vkladu?
8 měsíců před prvním vkladem?

Zadání v rámci současné hodnoty důchodu. Dá se říci, že pak jen posouváme po časové ose.

Rozbor úlohy - v okamžiku 1. vkladu

Cílem je přijít na částku, která by v budoucnu přinesla stejnou hodnotu jako součet všech vkladů. Jelikož se sazba v určitý okamžik mění, je potřeba počítat zvlášť pro každou sazbu. Nakonec sečíst. V rámci spoření počítáme předlhůtně. Sazbu i2 není nutné přepočítávat, jelikož frekvence úročení je totožná s frekvencí vkladů. Po změně sazby je již potřeba přepočítat.

P_{0} = R ∙ \frac{1 - {(1 + \frac{i2}{2})}^{- n}}{\frac{i2}{2}} ∙ (1 + \frac{i2}{2}) + R ∙ \frac{1 - {(1 + \frac{i2}{2})}^{- n}}{\frac{i2}{2}} ∙ {(1 + \frac{i2}{2})}^{- n}

Řešení

P_{0} = 500 ∙ \frac{1 - {(1 + \frac{0.04}{2})}^{- 10}}{\frac{0.04}{2}} ∙ (1 + \frac{0.04}{2}) + 500 ∙ \frac{1 - {(1 + 0.0406726223)}^{- 20}}{0.0406726223} ∙ {(1 + \frac{0.04}{2})}^{- 9}

P_{0} = 10 233.29128

Odúročitel u druhé sazby se nepřepočítává, protože se posouváme po časové ose v úseku, kde platí původní úroková sazba.

Rozbor úlohy - v okamžiku 20. vkladu

V tomto případě vycházíme z výpočtu z předchozího bodu, ale nyní počítáme současnou hodnotu důchodu až do 20. vkladu. Tedy jednorázový vklad posouváme po časové ose (úročíme). V úvahu je nutné brát změnu sazby, která nastává v 10. vkladu. Index v úročiteli bude číslo 9, jelikož počítáme předlhůtně. Dále pak ještě úročíme o 10 období s novou sazbou.

P_{0} ∙ {(1 + \frac{i2}{2})}^{n} ∙ {(1 + \frac{i2}{2})}^{n}

Řešení

P_{0} ∙ {(1 + \frac{0.04}{2})}^{9} ∙ {(1 + 0.0406726223)}^{10}

P_{0} = 18 220.41123

Rozbor úlohy - 8 měsíců před prvním vkladem

Zde vycházíme z hodnoty v první platbě, kterou odúročíme o 8 měsíců.

P_{(x)} = P_{0} ∙ {(1 + \frac{i2}{2})}^{- (m ∙ \frac{n}{12})}

Řešení

P_{(8)} = 10 233.29128 ∙ {(1 + \frac{0.04}{2})}^{- (2 ∙ \frac{8}{12})}

P_{(8)} = 9 966.632379