Příklad 1: ČSH - francouzskou metodou

Jakou hodnotu získáme, jestliže uložíme 200 000.- na 70 dní při úrokové sazbě 10 % při francouzské metodě úročení.

Info:

Cílem je vypočítat ČSH. Čistou současnou hodnotu (P₀, K₀). Pomocí jednoduchého úročení - francouzskou metodou. V rámci tohoto předmětu si zapamatujme, že pokud je v zadání nějaká metoda (francouzská, německá, anglická), pak se jedná o jednoduché úročení (dle tutora). Ale ona to není úplně pravda, jelikož v dalších zadáních kombinuje jednoduché a složené úročení, kde tyto metody zmiňuje. V navazujícím předmětu FIP se pak dozvíme, že se jedná o smíšené úročení, ale to se v rámci tohoto předmětu nedozvíme.

Postup: 200 000 * (1 + (70 / 360 * 0.1)) = 203 888.8889

Závěr:

Čistá současná hodnota bude 203 888.8889.-

Příklad 2: ČSH - francouzskou metodou

Jakou hodnotu získáme, jestliže uložíme 300 000.- na 10 let a 350 dní při úrokové míře 10 % a francouzské metodě úročení.

Cílem je vypočítat ČSH. Čistou současnou hodnotu (P0, K0). Pomocí jednoduchého úročení - francouzskou metodou. Dávejme bacha na častou chybu při zadávání do kalkulačky, kdy místo zadání do kalklulačky 1+0.1*350/360 zadáme 1.1*350/360, to je matematická chyba v rámci priotrity operátorů a vyjde nám chybný výsledek

Postup: 300.000 * (1 + 0.1)¹⁰ * (1 + (0.1 * 350 / 360)) = 853 773.5598

Závěr:

Čistá současná hodnota bude 853 773.5598.-

Příklad 3: ČSH - reálná hodnota (inflace)

Vypočítejte reálnou hodnotu vkladu 100 000.-, který uložíme na 1 rok při roční úrokové míře 8 %. Uvažujte daň z úroků ve výši 15 %. Úlohu řešte za předpokladu, že inflace činí 7 %:

Cílem je vypočítat ČSH. Čistou současnou hodnotu vkladu, kterou bude mít za 1 rok při daných parametrech.

Postup:

• Spočítáme ir: 0.08 * (1 - 0.15) - 0.07 / 1 + 0.07 = -0.00186
• Spočítáme K: 100 000 * (1 - 0.00186) = 99 813

Závěr:

Reálná současná hodnota bude 99 813.-, došlo k reálnému znehodnocení.

Příklad 4: ČSH - termínovaný účet

Vypočítejte, jestli bude výhodnější mít peníze na termínovaném účtu s roční nominální úrokovou mírou 12.8 % a ročním úrokovacím obdobím nebo s roční nominální úrokovou mírou 12 % a půlročním úrokovacím obdobím.

Cílem je vypočítat ČSH. Rozhodejeme se mezi dvěma produkty.

Postup:

• I(ef) = (1 + (ir / n))n -1, kde n je počet úrokovacích období
• I(ef) = ( 1 + (0.128 / 1))¹ - 1= 0.128 = 12.8 %
• I(ef) = ( 1 + (0.12 / 2))² - 1= 0.1236 = 12.36 %

Závěr:

Výhodnější bude mít peníze na termínovaném účtu s ročním úrokovacím obdobím se sazbou 12.8 %.

Příklad 5: ČSH - Ief

Kolik bude činit roční nominální úroková míra s půlročním úrokovacím obdobím, jestliže efektivní úroková míra činí 12 %.

Cílem je vypočítat IEF.

Postup:

• I(ef) = 0.12 = (1 + i₂/2)² – 1
• 1.12 = (1 + (i / 2)²/ √
• √1.12 = 1 + i / 2
• i / 2=√ 1.12/ * 2
• i = 2 * (√1.12-1)
• i = 0.1166
• i = 11.66 %

Závěr:

Roční nominální úroková míra s půlročním úrokovacím obdobím bude činit 11.66%

Příklad 6: ČSH - konečný stav účtu (úročení)

Vypočítejte konečný stav běžného účtu, na který ukládáme pravidelně na začátku každého čtvrtletí 1 000.- při roční nominální úrokové míře 10 % při ročním úrokovacím období. Použijte německou obchodní metodu, tj. měsíc 30 dní, rok 360 dní.

Cílem je vypočítat Pt.

Postup:

Spočítáme úroky a přičteme k jistině.

• 1. Rok : 1000 * 0.1 * (90/360) = 25
• 2. Rok : 2000 * 0.1 * (90/360) = 50
• 3. Rok : 3000 * 0.1 * (90/360) = 75
• 4. Rok : 4000 * 0.1 * (90/360) = 100

Závěr:

Úroky ve výši 250.- přičteme k jistině 4 000.- a Konečný stav běžného účtu bude 4 250.-

Příklad 7: jaká částka

Vypočtěte, jaká částka byla uložena v bance, když jste po 3 letech a 140 dnech obdrželi částku 548 463.- při roční nominální úrokové míře 6 %. Použijte francouzskou metodu úročení.

Cílem je vypočítat P₀.

Postup:

• P₀ = 548 463 / [(1 + 0.06)³ * (1 + 0.06 * 140/360)]
• P₀ = 548 463 / 1.2188
• P₀ = 450 002.4614

Závěr:

Výše jistiny byla 450 002.4614.-

Příklad 8: jednoduché a složené úročení

Dne 1. 12. 2006 jste uložili na účet 50 000.-. Jakou celkovou částku obdržíte při výběru (původní vklad a úroky) dne 20. 1. 2009 při 5 % roční nominální úrokové míře a francouzské metodě úročení? Příklad vypočtěte:

• složeným způsobem úročení
• jednoduchým způsobem úročení.

Cílem je vypočítat Pt tedy budoucí hodnotu kapitálu.

Postup:

• 50 000 * (1 + 0.05)2 * (1 + 0.05 * 50/360) = 55 507.81
• 50 000 * (1 + 0.05 * x/360), dopočítáme x. x = 2 * 360 + 50. Vysledek je 55 347.22

Závěr:

• Při výběru obdržíme částku ve výši 55 507.8125.- složeným způsobem úročení.
• Při výběru obdržíme částku ve výši 55 347.22.- jednoduchým způsobem úročení.

Příklad 9: max. výše inflace

Vypočtěte max. výši inflace, při které ještě nebude docházet k reálnému znehodnocení vložených peněz, pokud je roční nominální úroková míra 12 %.

Cílem je vypočítat Inflaci.

Postup:

• Ir = In * (1-t)
• 0 = 0.12 * (1-0.15) – i
• Ir = 0.12 * 0.85 – i
• I = 0.102 = 10.2 %

Závěr:

Maximální výše inflace, při které ještě nebude docházet k reálnému znehodnocení vložených peněz je 10.2%

Pozn. Nemělo by být v testech

Příklad 10: pan Potočka

Kolik by si pan Potočka musel dnes uložit do banky, ve které má účet nesoucí 3 % p.a., aby měl za 5 let k dispozici částku ve výši 200 000.-, která by mu postačila na proinvestování jeho vysněné cesty kolem světa? Úroky jsou na něj skládány:

• ročně,
• pololetně
• čtvrtletně
• měsíčně

Cílem je vypočítat P0.

Postup:

• 200 000 * odúr. (1; 3 %)
• 200 000 / (1 + (0.03/2))¹⁰
• 200 000 / (1 + (0.03/4))20
• 200 000 / (1 + (0.03/12))60

Příklad 11: pan Beran

Pan Beran se rozhodl o svých čtyřicátých narozeninách, že až oslaví padesátiny koupí so nový dům v hodnotě 2 mil. Kč. Jak velké částky musí pan Beran na konci každého roku uložit, aby naspořil za 10 let částku, pokud banka poskytuje 6% úrok z vkladů?

Ověřený výsledek: 151 734.-

Cílem je vypočítat anuitu.

Postup:

• n = 10
• Pt = 2 000 000
• i = 6%

R = 2 000 000 * fondovatel(10,6) = 2 000 000 * 0.0759 = 151 734.-

Příklad 12: rodiče slíbili

Rodiče slibili sedmiletému Petrovi, že mu budou každým rokem zvyšovat kapesné o 5 %. Jak velkou částku bude Petr dostávat v sedmnásti letech, pokud dnes dostává 100.- ?

Ověřený výsledek: 162.9.- složeným úročením a 150.- jednoduchým úročením.

Cílem je vypočítat výši anuity.

Postup:

• n = 10
• i = 5%
• P0 = 100

Jednoduché: 100 * (1 + 0.05 * 10) = 150

Složené: 100 * úročitel(10, 5%) = 100 * 1.05² = 162.9.-

Příklad 13: jak velký úvěr

Jak velký úvěr si může vzít podnikatel u banky, pokud ho musí splatit za 15 let a pokud může ročně splácet max. 160 000.- při úrokové míře 7 %?

Ověřený výsledek: 1 457 280.-

Cílem je vypočítat P₀.

Postup:

• n = 15
• i = 7%
• R = 160 000

P₀ = 160 000 * zásobitel(15, 7%) = 160 000 * 9.1079 = 1 457 280.-

Příklad 14: obchodní partner

Váš obchodní partner dluží Vaší společnosti 5 000 000.- a nabízí Vám následující alternativy úhrady svého závazku:

1. Věnuje Vám obraz, jehož hodnota je za 5 let odhadována na částku 9 000 000.-
2. Každý rok Vám bude splácet na konci období po dobu 5 let částku 1 200 000.-
3. Každý rok Vám bude splácet na začátku období po dobu 5 let částku 1 200 000.-

Které variantě dáte přednost, jestliže požadujete výnosnost 10 %

Ověřený výsledek:

1. 5 588 591.91.-
2. 4 548 960.-
3. 5 003 856.-

Postup:

1. Chceme zjistit současnou čistou hodnotu obrazu: 9 000 000 * odúročitel(5, 10%) = 9 000 000 * 1/(1+0,1)⁵ = 5 588 591.91.-
2. Chceme zjistit současnou hodnotu budoucích anuit: 1 200 000 * zásobitel(5, 10%) = 1 200 000 * 3.7908 = 4 548 960.-
3. Chceme zjistit současnou hodnotu budoucích anuit předlhůtně: 1 200 000 * zásobitel(5, 10%) * úročitel(1, 10%) = 1 200 000 * 1.1 * 3.7908 = 5 003 856.-

Příklad 15: společnost Brumla

Společnost Brumla s.r.o. se rozhodla využít k financování plánované investiční akce bankovní úvěr. Banka nabízí úvěr ve výši 50 000 000.- se splatností 8 let a požaduje úrok z úvěru ve výši 15 % p.a. Kolik bude činit výše roční splátky, pokud bude hrazena:

1. na konci roku
2. na začátku roku

1. 11 145 000.-
2. 9 691 692.-

• n=8
• i=15%

Postup:

1. 50 000 000 * umořovatel(8, 15 %) = 50 000 000 * 0.2229 = 11 145 000.-
2. 50 000 * odúročitel(1, 15%) * umořovatel(8, 15%) = 50 000 000 * 0.8696 * 0.2229 = 9 691 692.-