Úrokovací(diskontní) faktory

Zejména u zápočtu bude potřeba pracovat s těmito faktory časové hodnoty peněz.

V předmětu FIM budete pracovat pouze v ručním zapisu v kombinaci s tabulkami, ale je dobré pochopit jejich význam. Bude se hodit v navazujícím předmětu FIP / FIPV.

• Úročitel: budoucí hodnota jednorázového vkladu
• Odúročitel: současná hodnota budoucího výnosu
• Střadatel: budoucí hodnota anuity
• Fondovatel: anuita pro dosažení budoucí hodnoty
• Umořovatel: anuitní splátka kapitálu
• Zásobitel: současná hodnota anuity

Ve všech případech se jedná o složeného úročení.

Ještě připomenu použité zkratky.

• Pt: budoucí hodnota střadatele (kolik bude mít střadatel na konci období).
• R: pravidelný vklad (kolik střadatel ukládá na konci každého období).
• i: úroková sazba za období (vyjádřená jako desetinné číslo, např. 5 % = 0,05).
• n: počet období, během kterých se ukládají peníze (např. měsíce nebo roky).

Úročitel

Pomocí úročitele se zjišťuje budoucí hodnota současné hodnoty.

• Vzorec představující úročitele:: ${(1+\frac{i_m}{m})}^{m\bullet n}$
• Vzorec pro výpočet současné hodnoty: $P_{\mathrm{t}}=P_0\bullet {(1+\frac{i_m}{m})}^{m\bullet n}$

Příklad:

Pokud vložíme počáteční investici 10 000.- s úrokovou sazbu 5 % (0.05) a dobou investice 3 roky s roční frekvencí úročení:

$P_{\mathrm{t}}=\mathrm{10\; 000}\bullet {(1+\frac{0.05}{1})}^{1\bullet 3}$
$P_{\mathrm{t}}=\mathrm{11\; 576,25}$

Pokud by byla frekvence úroční nepříklad 4 krát ročně, výsledek bude jiný a vzorec bude vypadat takto:

$P_{\mathrm{t}}=\mathrm{10\; 000}\bullet {(1+\frac{0.05}{4})}^{4\bullet 3}$
$P_{\mathrm{t}}=\mathrm{11\; 607.54518}$

Kalkulačka:

Odúročitel

Pomocí odúročitele se zjišťuje současná hodnota budoucí hodnoty.

• Vzorec představující odúročitele: $\frac{1}{{(1+r)}^n}$
• Vzorec pro výpočet současné hodnoty: $P_0=P_{\mathrm{t}}\bullet \frac{1}{{(1+r)}^n}$

příklad

Pokud očekáváme, že obdržíme částku 1 000 Kč za 3 roky při úrokové sazbě 5 %, výpočet současné hodnoty této částky pomocí odúročitele bude vypadat takto:

• $P_0=1000\cdot \frac{1}{\left(1+0.05\right){}^3}$
• $P_0=\mathrm{863.84.-}$

Výsledek se také nazývá diskontovaná částka.

Kalkulačka:

Střadatel

Pomocí střadatele se zjišťuje budoucí hodnota anuit(pravidelných vkladů).

• Vzorec představující střadatele: ${\frac{\left(1+i\right){}^n-1}{i}}_{}$
• Vzorec pro výpočet budoucí hodnoty: $P_t=R\cdot \frac{\left(1+i\right){}^n-1}{i}$

příklad

Jaká je budoucí hodnota ( Pt ) pravidelných vkladů ve výši 1 000.- po dobu 5 ti let, při úrokové míře 4 % ročně ( p.a. )

• $P_t=\mathrm{1\; 000}\cdot \frac{\left(1+0.04\right){}^5-1}{0.04}$
• $P_t=\mathrm{5\; 416.32256}$

Kalkulačka:

Fondovatel

Pomocí fondovatele se zjišťuje výše anuity pro dosažení budoucí hodnoty.

• Vzorec představující fondovatele: $\frac{i}{{(1+i)}^n-1}$
• Vzorec pro výpočet vkladu: $R=P_t\bullet \frac{i}{{(1+i)}^n-1}$

Spořením jsou myšleny měsíční vklady!

příklad

Pokud chceme naspořit 500 000 Kč za 10 let při úrokové míře 5 % ročně, a budeme vkládat pravidelně měsíční částky, vypočítáme potřebný pravidelný vklad takto:

$R=\mathrm{500\; 000}\bullet \frac{\mathrm{0.05}}{{(1+\mathrm{0.05})}^{\mathrm{10}}-1}$
$R=\mathrm{39\; 752.29}$

Kalkulačka:

Umořovatel

Pomocí umořovatele se zjišťuje výše pravidelných splátek ( i s úroky ).

• Vzorec představující fondovatele: $\frac{i}{1-{(1+i)}^{-n}}$
• Vzorec pro výpočet splátky: $R=\frac{P_{t}i}{1-{(1+i)}^{-n}}$

Příklad:

Předpokládejme, že si vezmeme úvěr ve výši 200 000 Kč s roční úrokovou sazbou 5 % na dobu 5 let a budeme jej splácet ročními anuitními splátkami.

• $R=\frac{\mathrm{200\; 000}\bullet 0.05}{1-{(1+0.05)}^{-5}}$
• $R=\mathrm{46\; 194.95963}$

Kalkulačka:

Zásobitel

Pomocí zásobitele se zjišťuje současná hodnota pravidelných plateb.

• Vzorec představující zásobitele: $\frac{1-{(1+i)}^{-n}}{i}$
• Vzorec pro výpočet současné hodnoty: $P_0=R\bullet \frac{1-{(1+i)}^{-n}}{i}$

příklad

Představme si, že budemeVypočítat dostávat měsíční platby ve výši 10 000 Kč po dobu 5 let s roční úrokovou sazbou 5 %. Chceš vědět, jakou mají tyto platby hodnotu dnes (současná hodnota).

• Vzorec představující zásobitele: $P_t=R\bullet \frac{1-{(1+\mathrm{0.05})}^{-5}}{\mathrm{0.05}}$
• Vzorec pro výpočet současné hodnoty: $P_t=\mathrm{43\; 294.76671}$

Kalkulačka: